題目#
為了在即將到來的晚會上有更好的演出效果，作為 AAA 合唱隊負責人的小 A 需要將合唱隊的人根據他們的身高排出一個隊形。假定合唱隊一共 $n$ 個人，第 $i$ 個人的身高為 $h_i$ 米（$1000 \le h_i \le 2000$），並已知任何兩個人的身高都不同。假定最終排出的隊形是 $A$ 個人站成一排，為了簡化問題，小 A 想出了如下排隊的方式：他讓所有的人先按任意順序站成一個初始隊形，然後從左到右按以下原則依次將每個人插入最終排出的隊形中：
- 第一個人直接插入空的當前隊形中。
- 對從第二個人開始的每個人，如果他比前面那個人高（$h$ 較大），那麼將他插入當前隊形的最右邊。如果他比前面那個人矮（$h$ 較小），那麼將他插入當前隊形的最左邊。
當 $n$ 個人全部插入當前隊形後便獲得最終排出的隊形。
例如，有 $6$ 個人站成一個初始隊形，身高依次為 $1850, 1900, 1700, 1650, 1800, 1750$，那麼小 A 會按以下步驟獲得最終排出的隊形：
- $1850$。
- $1850, 1900$，因為 $1900 > 1850$。
- $1700, 1850, 1900$，因為 $1700 < 1900$。
- $1650, 1700, 1850, 1900$，因為 $1650 < 1700$。
- $1650, 1700, 1850, 1900, 1800$，因為 $1800 > 1650$。
- $1750, 1650, 1700, 1850, 1900, 1800$，因為 $1750 < 1800$。
因此，最終排出的隊形是 $1750, 1650, 1700, 1850, 1900, 1800$。
小 A 心中有一個理想隊形，他想知道多少種初始隊形可以獲得理想的隊形。
請求出答案對 $19650827$ 取模的值。
對於 $100%$ 的數據，$n \le 1000$，$1000 \le h_i \le 2000$。
題解#
為什麼要用區間 dp？（引用於題解）
我們發現區間 dp 有一個性質 —— 大區間包含小區間，這道題就符合這樣的一個性質:
首先我們設f[i][j]表示符合理想區間 i 到 j 的方案數。dp 的轉移靠的是最後一個不同之處，即最後一個數是插入在左面還是右面，然而發現 —— 很難轉移
於是設f[0/1][i][j]表示符合理想區間 i 到 j 的方案數（0 代表最後一個數是在左面插入，即為第 i 個，1 則反之），然後分類討論轉移即可
代碼#
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010;
const int mod = 19650827;
int n, a[N];
int read()
{
int f = 1, x = 0;
char ch = getchar();
while(ch < '0' || ch > '9')
{
if(ch == '-') f = -1;
ch = getchar();
}
while(ch >= '0' && ch <= '9')
{
x = x * 10 + ch - '0';
ch = getchar();
}
return f * x;
}
int f[N][N][2];
int main()
{
n = read();
for(int i = 1;i <= n;i++)
{
a[i] = read();
}
for(int i = 1;i <= n;i++)
{
f[i][i][0] = 1;
}
for(int L = 2;L <= n;L++)
{
for(int i = 1;i + L - 1 <= n;i++)
{
int j = i + L - 1;
if(a[i + 1] > a[i])
f[i][j][0] += f[i + 1][j][0];
if(a[j] > a[i])
f[i][j][0] += f[i + 1][j][1];
if(a[i] < a[j])
f[i][j][1] += f[i][j - 1][0];
if(a[j - 1] < a[j])
f[i][j][1] += f[i][j - 1][1];
f[i][j][0] %= mod, f[i][j][1] %= mod;
}
}
cout << (f[1][n][0] + f[1][n][1]) % mod;
return 0;
}