题目#
为了在即将到来的晚会上有更好的演出效果，作为 AAA 合唱队负责人的小 A 需要将合唱队的人根据他们的身高排出一个队形。假定合唱队一共 $n$ 个人，第 $i$ 个人的身高为 $h_i$ 米（$1000 \le h_i \le 2000$），并已知任何两个人的身高都不同。假定最终排出的队形是 $A$ 个人站成一排，为了简化问题，小 A 想出了如下排队的方式：他让所有的人先按任意顺序站成一个初始队形，然后从左到右按以下原则依次将每个人插入最终棑排出的队形中：
- 第一个人直接插入空的当前队形中。
- 对从第二个人开始的每个人，如果他比前面那个人高（$h$ 较大），那么将他插入当前队形的最右边。如果他比前面那个人矮（$h$ 较小），那么将他插入当前队形的最左边。
当 $n$ 个人全部插入当前队形后便获得最终排出的队形。
例如，有 $6$ 个人站成一个初始队形，身高依次为 $1850, 1900, 1700, 1650, 1800, 1750$，那么小 A 会按以下步骤获得最终排出的队形：
- $1850$。
- $1850, 1900$，因为 $1900 > 1850$。
- $1700, 1850, 1900$，因为 $1700 < 1900$。
- $1650, 1700, 1850, 1900$，因为 $1650 < 1700$。
- $1650, 1700, 1850, 1900, 1800$，因为 $1800 > 1650$。
- $1750, 1650, 1700, 1850, 1900, 1800$，因为 $1750 < 1800$。
因此，最终排出的队形是 $1750, 1650, 1700, 1850, 1900, 1800$。
小 A 心中有一个理想队形，他想知道多少种初始队形可以获得理想的队形。
请求出答案对 $19650827$ 取模的值。
对于 $100%$ 的数据，$n \le 1000$，$1000 \le h_i \le 2000$。
题解#
为什么要用区间 dp？（引用于题解）
我们发现区间 dp 有一个性质 —— 大区间包含小区间，这道题就符合这样的一个性质:
首先我们设f[i][j]表示符合理想区间 i 到 j 的方案数。dp 的转移靠的是最后一个不同之处，即最后一个数是插入在左面还是右面，然而发现 —— 很难转移
于是设f[0/1][i][j]表示符合理想区间 i 到 j 的方案数（0 代表最后一个数是在左面插入，即为第 i 个，1 则反之），然后分类讨论转移即可
代码#
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010;
const int mod = 19650827;
int n, a[N];
int read()
{
int f = 1, x = 0;
char ch = getchar();
while(ch < '0' || ch > '9')
{
if(ch == '-') f = -1;
ch = getchar();
}
while(ch >= '0' && ch <= '9')
{
x = x * 10 + ch - '0';
ch = getchar();
}
return f * x;
}
int f[N][N][2];
int main()
{
n = read();
for(int i = 1;i <= n;i++)
{
a[i] = read();
}
for(int i = 1;i <= n;i++)
{
f[i][i][0] = 1;
}
for(int L = 2;L <= n;L++)
{
for(int i = 1;i + L - 1 <= n;i++)
{
int j = i + L - 1;
if(a[i + 1] > a[i])
f[i][j][0] += f[i + 1][j][0];
if(a[j] > a[i])
f[i][j][0] += f[i + 1][j][1];
if(a[i] < a[j])
f[i][j][1] += f[i][j - 1][0];
if(a[j - 1] < a[j])
f[i][j][1] += f[i][j - 1][1];
f[i][j][0] %= mod, f[i][j][1] %= mod;
}
}
cout << (f[1][n][0] + f[1][n][1]) % mod;
return 0;
}